Cette version garde la leçon et ajoute une vraie banque d’exercices : à chaque chargement de la page, 5 défis différents sont tirés aléatoirement parmi les exercices stockés du chapitre sur les primitives et les équations différentielles.
On dit que F est une primitive de f sur un intervalle I si, pour tout x de I, on a F’(x) = f(x).
Chercher une primitive, c’est faire le chemin inverse de la dérivation.
Si une fonction F est une primitive de f, alors toutes les primitives de f s’écrivent :
La dérivée d’une constante est nulle, donc ajouter une constante ne change pas la dérivée.
Quand on connaît une information du type F(a) = b ou y(a) = b, on peut trouver la constante C.
Une primitive de 2x est x² + C. Puis 1 + C = 3, donc C = 2.
Pour une constante réelle a, les solutions de y’ = ay sont :
La condition initiale permet ensuite de trouver la constante C.
Quand a ≠ 0, on cherche une solution constante particulière puis on ajoute les solutions de l’équation homogène.
Exemple : pour y’ = 2y + 4, on obtient y(x)=Ce2x-2.
Identifie le type : primitive directe, primitive avec condition initiale, y’ = ay ou y’ = ay + b.
Applique la formule de cours, puis dérive ton résultat pour vérifier que tu retombes sur la bonne fonction.
N’oublie jamais la constante + C, ou la solution constante particulière dans le cas y’ = ay + b.
La fonction x ↦ x² est une primitive sur ℝ de la fonction x ↦ 2x.
Sur [0 ; +∞[, une primitive de f(x)=ex+1√ex+x est :
Sur ]0 ; +∞[, la primitive F de f(x)=1/x-1/x² vérifie F(1)=2. Alors :
Pour q’=-λ q avec q(0)=15 et q(2)=10, on obtient :
Sachant que g(x)=-x-12 est une solution particulière de y’=2y+2x, la solution générale est :