Chapitre 4 • Terminale spé maths
Orthogonalité, produit scalaire et distances
Ce chapitre relie angles, longueurs et perpendicularité grâce au produit scalaire dans l’espace.
Leçon claire et rapide
1. Produit scalaire
Pour u(x;y;z) et v(x’;y’;z’), on a u·v = xx’+yy’+zz’.
2. Orthogonalité
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
3. Norme
La norme de u(x;y;z) vaut √x²+y²+z².
4. Distance
La distance AB est la norme du vecteur →AB.
5. Angle
Le cosinus de l’angle entre u et v s’exprime avec le produit scalaire.
6. Vecteur normal
Un vecteur normal est orthogonal à tous les vecteurs directeurs d’un plan.
u·v = xx’+yy’+zz’
||u|| = √x²+y²+z²
AB = ||→AB||
u ⟂ v ⇔ u·v = 0
Méthode à retenir
Étape 1
Calcule les vecteurs utiles.
Étape 2
Utilise le produit scalaire pour l’orthogonalité ou l’angle.
Étape 3
Pour une distance, passe souvent par une norme.
Astuce : avance toujours dans l’ordre lecture de l’énoncé → choix de la bonne notion → vérification finale. Une grande partie des erreurs vient d’une mauvaise identification du bon outil de cours.
Système de défis aléatoires
Score
0 / 40
Défis réussis
0 / 5
Rang
Recrue orthogonale
Banque active
20 exercices
À chaque rechargement, la page tire 1 exercice aléatoire dans chacune des 5 familles :
Produit scalaire, Orthogonalité, Normes, Distances, Angles.
Produit scalaire
Si u=(1;2;3) et v=(4;0;-1), alors u·v vaut :
Orthogonalité
Les vecteurs (1;0;0) et (0;1;0) sont :
Normes
Si A(0;0;0) et B(1;2;2), alors AB vaut :
Distances
Si M est le milieu de [AB], alors MA et MB sont :
Angles
Dans la formule du cosinus, on divise u·v par :
Termine tous les défis pour débloquer ton bilan final.