Chapitre 11 • Terminale spé maths
Le calcul intégral
Dans ce chapitre, tu relies les primitives aux intégrales pour calculer des aires, encadrer des quantités, exploiter les propriétés de linéarité et traiter des applications continues.
Leçon claire et rapide
1. Sens d’une intégrale
Si f est continue et positive sur [a ; b], alors l’intégrale de a à b représente l’aire sous la courbe de f entre a et b. Si la courbe passe sous l’axe, on parle d’aire algébrique.
Si f≥0 sur [a ; b], alors ∫ab f(x) dx est une aire.
Aire
Signe
2. Propriétés utiles
L’intégrale est additive sur les intervalles et linéaire. On peut aussi comparer deux intégrales si l’on compare les fonctions.
∫ab(λf+g)=λ∫abf + ∫abg
Linéarité
Additivité
3. Théorème fondamental
Si F est une primitive de f sur [a ; b], alors l’intégrale se calcule par différence de valeurs de F aux bornes.
∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)
Primitive
Bornes
4. Encadrement
Si m ≤ f(x) ≤ M sur [a ; b], alors l’intégrale de f est encadrée entre m(b-a) et M(b-a). C’est pratique pour estimer sans calcul exact.
m(b-a) ≤ ∫abf(x)dx ≤ M(b-a)
Comparaison
Majoration
5. Symétries
Une fonction impaire intégrée sur [-a ; a] donne 0. Une fonction paire sur [-a ; a] se ramène à deux fois l’intégrale de 0 à a.
f impaire ⇒ ∫-aaf(x)dx = 0 • f paire ⇒ 2∫0af(x)dx
Pair / impair
Gain de temps
6. Applications
On utilise les intégrales pour calculer des aires, des distances à partir d’une vitesse, ou encore des valeurs moyennes sur un intervalle.
Valeur moyenne de f sur [a ; b] : (1/(b-a)) ∫ab f(x)dx
Valeur moyenne
Modélisation
Méthode à retenir
Étape 1
Vérifie d’abord si la question se traite par aire, par propriété d’intégrale ou par primitive.
Étape 2
Regarde le signe de la fonction et les éventuelles symétries avant de calculer.
Étape 3
Quand tu utilises une primitive, pense toujours au schéma F(b)-F(a).
Astuce bac : avant de calculer, demande-toi si l’intégrale peut être lue géométriquement, simplifiée par symétrie ou estimée par encadrement. Cela évite beaucoup d’erreurs de signe.
Système de défis aléatoires
Score
0 / 40
Défis réussis
0 / 5
Rang
Recrue des aires
Banque active
41 exercices
À chaque rechargement, la page tire 1 exercice aléatoire dans chacune des 5 familles : sens géométrique, propriétés, primitive + théorème fondamental, calcul direct et boss final d’application.
Défi 1 — Sens géométrique
L’intégrale ∫-13 5 dx vaut :
Défi 2 — Propriétés
Si f est impaire, alors ∫-aaf(x)dx vaut :
Défi 3 — Primitive et bornes
L’intégrale ∫0π sin(x)dx vaut :
Défi 4 — Calcul direct
L’intégrale ∫0ln 2 e^x dx vaut :
Défi 5 — Boss final d’application
Comme 4-x² ≥ 0 sur [-2 ; 2], l’aire sous la courbe vaut :
Termine tous les défis pour débloquer ton bilan final.